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人吉産まれの新しい米焼酎ブランド『The人吉』。追い求めたのは「飲みやすさ」と「味わい深さ」の融合です。 【ふるさと納税】本格米焼酎 球磨焼酎 The人吉15年1.5L 1本 蔵元屋 米焼酎 熊本 酒 焼酎 古酒 純米焼酎 ギフト 九州 送料無料

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11800円

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商品説明
名称本格米焼酎 球磨焼酎『The人吉』15年 1.5l 1本
産地熊本県産
内容量 The人吉 AGED15YEARS(樽貯蔵古酒 1.5L、25度)×1本
原材料名米・米麹
保存方法高温・直射日光を避け、涼しい場所に保管してください。
商品説明人吉市の『人吉温泉物産館 蔵元屋』が贈る、人吉産まれの新しい米焼酎ブランド「The人吉」。追い求めたのは「飲みやすさ」と「味わい深さ」の融合です。
「AGED15YEARS」は、丁寧に造った純米焼酎を15年間オーク樽で貯蔵し熟成させた逸品です。心地よい樽の香りとほのかに漂う甘みが特徴です。
提供者人吉温泉物産館 蔵元屋
備考※未成年者の飲酒は法律で禁止されています。未成年者のお申込みはご遠慮ください。

・寄附申込みのキャンセル、返礼品の変更・返品はできません。あらかじめご了承ください。
・ふるさと納税よくある質問はこちら

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2022年4月24日日曜日

玉を取り出す色の組み合わせ毎の玉の組み合わせの数

 【課題1】
 赤玉3個、白玉3個、黒玉3個、計9個の玉が入った袋がある。この袋から同時に玉を3個取り出す。そうして取り出した3個の玉の色の組み合わせの違い毎に、その色の組み合わせを生じる玉の組み合わせの数を求める。

【解答】
(1)先ず、袋の中の9個の玉から3個の玉を取り出す場合の、3個の玉の組み合わせの総数は、

通りある。
すなわち、3つの玉の組合せを表す事象の連鎖の総数がその数だけある。

(2)次に、取り出した3個の玉の色分けのバラエティを、赤m個、白n個、黒t個という色分け事象の連鎖で表す。そして、総数84個の事象の連鎖を、その色分け事象の連鎖で分類した枝に分岐させる。すなわち、玉の色分け事象の連鎖の各枝毎に、対応する事象の連鎖の糸を割り当てて編集した以下の樹形図を作成する。

この樹形図から、玉の色の組み合わせのバラエティの数(色分け事象の連鎖の数)は10通りあることがわかる。

 しかし、各々の玉の色分けの枝(色分け事象の連鎖)に対応する玉の組み合わせの数は、以下に示す通りに、異なっている。
(2-1)3つの玉の色が全て同じ色の場合は、そうなる玉の組み合わせの数は、その色の玉3個の全てを選ぶので、その玉の組み合わせの数は1つである。
(2-2)3つの玉の色が2色の場合は、そうなる玉の組み合わせの数は、同じ色の2つの玉を選ぶバラエティの数の3と、その他の1つの色の玉を選ぶバラエティの数3の積の、9つの玉の組み合わせの数になる。
(2-3)3つの玉の色が全て異なる場合は、赤玉を選ぶバラエティの数の3と、白玉を選ぶバラエティの数の3と、黒玉を選ぶバラエティの数の3の積の、27の玉の組み合わせの数になる。
(3)このように、3つの玉の色分け毎に、その色分けを生じる玉の組み合わせの数が異なる。
(解答おわり)

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2022年4月3日日曜日

2022年3月22日火曜日

確率の問題を空試行を考えて解く

【問1】
 下の図のような格子状の道がある。スタートの場所Aから出発し,コインを 投げて,表が出たら右へ 1 区画進み,裏が出たら上へ 1 区画進むとする。
ただし,右の端で表が出たときと,上の端で裏が出たときは動かないものとす る。
 この試行を行なうとき、以下の問いに答えよ。
(1) 8 回コインを投げ てもゴールBに到達できない確率を求めよ。


 
この問題を自力で解いてください。その後で、ここをクリックした先に、この問題を「空試行を考えて解く解答」を書きましたので、参考のために、その解答も見てください。

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2022年3月8日火曜日

三角形の2辺と1つの角から残りの辺を求める

【問1】

上図の三角形ABCの長さbを求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

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変な積分

(どの有理数のxの位置でも微分不可能な連続関数)
 下図のグラフの関数は連続関数で、関数の極限が存在するが、でこぼこしていて、でこぼこがxのあらゆる有理数にまで在り、どの有理数のxの位置においても微分不可能な関数です。

 上図のグラフのよう微分不可能な位置(x=有理数の点)が無限にある関数であっても、その積分範囲で1つながりに連続な関数は、積分はできます。
元の関数が連続関数等の、関数の極限が存在する関数の場合は、その関数を積分した関数は微分可能な関数になります。
こうして、極限が存在して1つながりに連続な関数を積分して関数群を作れば、その関数群は皆、微分可能な関数であることが保証されます。

(どの様な関数f(x)を積分しても得られない連続関数F(x))
 連続関数であり、かつ、あらゆるところで微分不可能な関数であるワイエルシュトラス関数等は、どのような関数f(x)を積分しても得ることができません。

(極限が存在しない点が無限にあり、積分不可能な関数)
 しかし、下のグラフの関数f(x)のように、どの位置においても関数の極限が存在しない関数もあり得ます。
 例えば、 
xが有理数の場合にf(x)=0であって、
xが無理数の場合のf(x)=1
という、極限が存在しない関数f(x)などです。
(f(x) ≡ 1-ディリクレ関数)

 そういう、極限が存在しない関数f(x)を積分して関数F(x)を得た場合(もし積分できた場合)、その積分により得られた関数F(x)は微分可能だろうか。
 そもそも、微分の計算は極限を求める計算なので、その関数f(x)が積分できても、その積分した関数F(x)を微分した場合に、元の関数f(x)は(極限値が存在しないので)、微分によっては得られないと考えます。

 この関数f(x)の変数x=x1からx=x2までの変数xの閉区間をn等分した小区間を作り、その小区間毎にf(x)の値f(ξ)を求めて、その値の和で積分します。
(1)その際に、 変数x=ξが全て有理数なら、f(ξ)=0になり、積分結果は0になります。
(2)一方、変数x=ξが全て無理数√2の有理数倍なら、f(ξ)=1になり、積分結果は(x2-x1)になります。
(3)小区間内の点ξの取り方によってf(ξ)の和による積分結果が変わるような計算の値は定かでは無いので、その様な関数f(x)は積分することができません。
(但し、無理数は有理数の可付番無限大倍よりも多く圧倒的に多い無理数を優先して計算するルベーグ積分という定義もあります。)

(極限が存在しない点が無限にあり、積分可能な関数)

上図のノコギリ関数g(x)を使って以下の関数を作ります。

この関数f(x)は、以下のx座標で極限が存在しない。

その他、
x=奇数/(整数×2)
の点では極限値が存在しない。

しかし、この関数f(x)は積分できて、連続関数G(x)が得られる。

積分結果の連続関数G(x)は微分できるxの値がある。
(関数G(x)は、元の関数f(x)の極限が存在しない有理数のxの値では、微分不可能です)
関数G(x)の微分結果は、以下の関数g2(x)を使ってあらわすことができる。

微分結果のグラフは、以下のf(x)のグラフになります。

ただし、このf(x)のグラフは、関数f(x)の極限が存在しない有理数のxの値では、このグラフf(x)が不連続であり、かつ、グラフf(x)の関数値が存在しない。
この関数f(x)は、連続で無い点では関数値が存在しないが、関数f(x)は、連続で無い点でも関数値が存在します。
その点で、関数f(x)が、積分以前の関数f(x)と異なっています。
しかしながら、「微分可能」な変数xの値での関数f(x)の値は積分以前の関数f(x)の値と同じになります。
おもしろいことに、この関数f(x)のグラフは、
x=無理数の位置で「連続」です。
そのxの無理数の値から無限に小さい距離の近くにも有理数の値のxの連続で無い点があるにもかかわらずです。

 このように、微分積分学では、あらゆる関数に微分積分を行う理論を作ろうとすると、いろいろな難しい問題があることがわかりました。
 積分前の関数f(x)と、微分前の関数F(x)との、変数xの一部の定義域での微分積分のあり得る関係が以下の図であらわせます。

(上図で、関数f(x)は、除去可能な連続で無い点を除去した関数です。関数F(x)は、関数F(x)の連続で無い点を除いた変数xの範囲でf(x)の不定積分であるとともに、f(x)の不定積分でもあります)
 このように、関数の連続で無い点がらみで、関数f(x)とF(x)の間に難しい関係があることが分かりました。

 微分積分学で、難しい問題が生じない関数の範囲を把握して、その範囲内で微分積分の計算をすることで、応用上で微分積分を使い易くできます。
 そのため、使い易い関数として、極限が存在し、かつ、1つながりに連続な「連続関数」 を主に扱う対象にし、また、「微分可能性」で関数の変数の定義域を制限して、微分積分を行う範囲を制限します。
(ただし、連続関数というxの演算式が存在するわけでは無く、関数のグラフに連続で無い点が無い変数xの範囲を定義した定義域に制限して考える関数が連続関数と定義されます)
その範囲内で成り立つ法則を把握して、種々の公式を導き出して使うことで微分積分学を最大限に応用できるようになります。

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2022年3月6日日曜日

樹形図の基本ルール(その2)

樹形図の基本ルール:
《基本ルール》
(1)樹形図を横断する枝の総和(太さ)は常に一定。
(2)発生確率が同じ事象の樹形図の枝の太さは同じ。
(3)樹形図は、根元から枝先まで一定の太さの糸を根元側で束ねた、糸の集合でもある。1本の「糸」は、事象の連鎖の1つの場合を表す。
(4)樹形図の根から展開した複数の枝を書き、その先で、複数の枝をいったん節に束ねて糸の束を再編成して再度複数の枝(個々の枝は複数の糸の束で作る)に展開することもできる。
 樹形図の糸の束を、以下の例題のように解釈して問題を解くことができます。

【例題1】
 白球3個と赤球2個の入っている袋から、 1個ずつ順に、取り出 した球はもとに戻さずに、3個の球を取り出した。3番目の球が赤球である確率を求めよ。

【解答】
 3個の白球と2個の赤球を合わせた5個の球1つ1つを対等な球であると区別して考える。球の色分けはその対等な球に追加した付加的な区別であると考える。
 そう考えると、その5個の球の各球を取り出す確からしさは、5つの球の番号に影響されずに同様に確からしい性質を持つ。そして、下図の樹形図(樹形図の一部のみを表す)が書ける。


上図の樹形図は、取り出 した球はもとに戻さずに3個の球を順に取り出す場合を表す樹形図の糸の束の一部(1番目の球が赤球1の場合のみ)を表している。この樹形図の糸(事象の連鎖)の1本1本が同じ確からしさを持ち、どの糸の太さも同じになります。各糸(事象の連鎖)は、取り出す球の番号で示した数字の連鎖(例えば1 2 3)と等価である。それは、最小単位の「場合」を表し、その糸の総数が全ての「場合の数」を表す。
 この糸の1本の太さを1とすると、1番目に取り出す球が赤球1(球1)である糸の束の太さが4×3=12
になります。それは、1番目に取り出す球が赤球1(すなわち球1)である場合の数が12であることを意味する。


上図の、樹形図の一部の表示では、3番目の球が赤球1(球1)の場合の糸(事象の連鎖)の束を表している。
 3番目に取り出す球が赤球1(球1)である場合の樹形図の糸の束の太さは、4×3=12になります。それは3番目に取り出す球が赤球1(球1)である(事象の連鎖の)場合の数が12であることを意味する。
 この樹形図は、
3番目の束が赤球で束ねられる束の太さと、
白球で束ねられる束の太さと、
全ての束の太さ、
の比(場合の数の比)が
(2×4×3):(3×4×3):(5×4×3)
=(2×12):(3×12):(5×12)
=2:3:5
になります。
よって、 3番目の球が赤球である確率=2/5になります。
(解答おわり)


 樹形図は、最細の糸という基本単位の糸を束ねて構成されます。
 「糸」の1つは、事象の連鎖であり、樹形図の根元から枝までひとつながりである糸です。その糸を具体的に表現する方法は、各試行毎の事象の番号の連鎖:各試行毎に取り出す球の番号の連鎖(1 2 3)であらわすことができます。
 3番目に球を取り出す事象を最初に考えて樹形図を解釈することは、3番目に球を取り出した球が何になるかの場合の数を求めて確率を計算することと等価です。
場合の数を使って確率を計算するならば、球を取り出す試行の順番に依存せずに確率を計算できます。
樹形図の糸を網羅して把握できる場合は、場合の数を使った計算と等価な計算ができるため、3番目に球を取り出す試行を最初の試行として計算しても正しい確率の値を計算することができます。

 この様に、樹形図の「糸」が貫く、1番目と2番目と3番目の各試行の結果の各事象のセットを、その各試行を順番通りに考えないでも、正しい確率の値を計算することができます。

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2022年2月27日日曜日

無理関数の式への因数分解の公式

【問題1】以下の等式(1)を証明せよ。


【問題1(b)】以下の等式(1b)を証明せよ。


【問題2】以下の等式(2)を証明せよ。


【問題3】以下の等式(3)を証明せよ。


【問題4】以下の等式(4)を証明せよ。
 


【問題5】以下の等式(5)を証明せよ。


この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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